makalah tautologi_oleh dinzega "ega"

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Logika matematika adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari pernyataan, pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya berdasarkan aturan-aturan dasar dalam logika matematika untuk penarikan kesimpulan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Tautologi merupakan bagian dari logika matematika. Untuk mempelajari lebih lanjut maka disusunlah makalah ini.

1.2  Rumusan Masalah

Berpijak dari latar belakang di atas, maka yang menjadi rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah :

1.      Apakah yang dimaksud dengan tautologi?

2.      Apa perbedaan tautologi, kontradiksi, dan kontingen?

3.      Apa yang dimaksud dengan ekuivalen secara logika?

1.3  Tujuan

Dalam penyusunan makalah ini tujuan yang hendak dicapai adalah:

1.      Mengetahui arti tautologi

2.      Mengetahui perbedaan tautologi, kontradiksi, dan kontingen

3.      Mengetahui tentang ekuivalen secara logika

BAB II

PEMBAHASAN

2.1  Pengertian Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen

Tautologi adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Tautologi mempunyai persyaratan :

Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisionalnya yang ada bernilai benar.

Contoh tautologi:

p	q	p Ùq	~ (pÙq)	p v ~ (pÙq)
T	T	T	F	T
T	F	F	T	T
F	T	F	T	T
F	F	F	T	T

Kolom terakhir bernilai benar semua sehingga p v ~ (pÙq) adalah tautologi. Tautologi ini diikenal sebagai hukum pemustahilan jalan tengan ( ax luded middle, tertium non  datur). Juga dikenal sebagi hukum non-kontradiksi.

Membuktikan tautologi dapat menggunakan tiga cara, yaitu :

1.       Dengan Tabel Kebenaran

Bentuk Pernyataan Majemuk itu adalah Tautolegi bila kolom terakhir dari Daftar Kebenarannya berisi ‘B’ semua.

2.      Bentuk Pernyataan Majemuk itu diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk yang sudah dikenal sebagai Tautologi.

3.      Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang berupa suatu ekuivalensi:

Salah satu rupanya diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh  bentuk dari ruas lainnya. (dibahas lebih lanjut pada sub bab penyerdehanaan)

Kontradiksi merupakan kebalikan dari tautologi, dimana ekspresi logika selalu bernilai salah didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Contoh kontradiksi:

p	q	pÙq	~ (pÙq)	(pÙq)Ù~ (pÙq)
T	T	T	F	F
T	F	F	T	F
F	T	F	T	F
F	F	F	T	F

Kolom yang terakhir bernilai saalah semua sehingga (pÙq)Ù~ (pÙq) adalah kontradiksi.

Kontingen adalah suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Perhatikan contoh kontradiksi pada kolom pÙq nilai kenenarannya adalah salah dan benar sehingga pÙq adalah kontingen.

p	q	pÙq
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

2.2  Ekuivalen  Secara Logika “ ≡ ”

Dua proposisi dikatakan ekuivalen secara logika jika nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut sama. Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila :

·         Ekspresi logikanya adalah tautologis

·         Ekspresi logikanya adalah kontradiksi

·         Ekspresi logikanya adalah kontingen, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama

Contoh 1 ekuivalen:

~ p v ~ q dan ~ (p Ù q)

p	q	pÙq	~ p v ~ q	~ (p Ù q)
T	T	T	F	F
T	F	F	T	T
F	T	F	T	T
F	F	F	T	T

                                                                                    Ekuivalen logis

Dari tabel di atas dapat terlihat nilai kebenaran ~ p v ~ q dan ~ (p Ù q) sama, dengan satu T dan tiga F begitu pula urutan kebenarannya. Sehingga ~ p v ~ q ≡ ~ (p Ù q)

Jika p,q dan r adalah merupakan proposi-proposi maka berlaku beberapa hukum- hukum logika disajikan dalam daftar dibawah ini:

        

1. Hukum Komutatif

a. p Ù q º q Ù p

b. p Ú q º q Ú p

2. Hukum asosiatif

a. (p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

b. (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)

3. Hukum distributive

a. p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)

b. p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)

4. Hukum identitas

a. p Ù T º p

b. p Ú F º p

5. Hukum ikatan

a. p Ù F º F

b. p Ú T º T

6. Hukum negasi

a. p Ú ~p º T

b. p Ù ~p º F

7. Hukum negasi ganda

~(~p) º p

8. Hukum idempotent

a. p Ù p º p

b. p Ú p º p

9. Hukum De Morgan

a. ~(p Ù q) º ~p Ú ~q

b. ~(p Ú q) º ~p Ù ~q

10. Hukum Penyerapan

a. p Ú (p Ù q) º p

b. p Ù (p Ú q) º p

11. Negasi T dan F

a. ~T º F

b. ~F º T

12. Hukum Eksportasi

      {p  (q  r) } ≡{ (p q)  r } 

13. Hukum Redectio Ad Absurdum

{    (q   )}  p   

14. Hukum Transitif

   {(p  q )  ( q  r ) }   (p  r ) 

15. p   ≡ p

      p 1  ≡ 1

p  ≡ 0

p  ≡ p

17. Hukum Modus Ponens

     { (p   q )  p}  q     

18. Hukum Modus Tollens

     { (p   q )   }    

19.  Hukum Kontrapositif

      ( p  q )   ≡  (     )

      ( p  q )  ≡   ( q) 

2.3 Penyerdehanaan

·         Operasi penyederhanaan dilakukan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang ada.

·         Penyederhanaan dilakukan guna untuk memepermudah pengerjaan ekspresi logika.

·         Penyederhanaan dilakukan sampai ekspresi logika tersebut menjadi bentuk yang paling sederhana (tidak bisa disederhanakan lagi)

Contoh penyerdehanaan:

1.   {p (p q) }     ≡     p

              p  (p q)  ≡      

              (p 0)  (p q)     ≡  { (p v 0) p}

              p  (0 q)           ≡      { hukum distributive}

              p  0                             ≡         

                 p

2.   { p  (q  r ) }         ≡       (p  q)  r

             { p  (q  r ) }          ≡

               p   (  r )              ≡

                  (  r )              ≡

              ( )   r                 ≡

                     r                 ≡

             (p  q )    r

3.      (p Ú ¬q) Ú (¬p Ù ¬q) ≡ ¬p

¬(p Ú ¬q) Ú (¬p Ù ¬q)

≡(¬p Ù ¬(¬q)) Ú (¬p Ù ¬q)                   {hukum negasi ganda}

≡(¬p Ù q) Ú (¬p Ù ¬q)                         {hukum distributif}

≡ ¬p Ù(q Ú ¬q)          {hukum komplemen}

≡ ¬p Ù T                                              {hukum ikatan}

≡ ¬p

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat ditarik dari makalah ini adalah:

Tautologi adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar didalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

3.2  Saran

Adapun saran-saran dalam makalah ini tautologi ini adalah:

Akan lebih mudah memahami materi tautologi jika kita mengingat ekspresi logika yang bernilai benar semua adalah tautologi dan jika salah satu saja nilai kebenarannya bernilai ” tidak benar/ salah” maka bukan termasuk tautologi. Dan dalam memudahkan penyerdehanaan bisa dengan cara memahami dan mengingat hukum-hukum ekuivalen.

DAFTAR PUSTAKA

Wibisono,Samuel.2008.Matematika Diskrit Edisi 2.Yogyakarta:Graha ILmu

Internet